在 $\triangle ABC$ 中，$B = 120^{\circ}$，$AB = \sqrt{2}$，$A$ 的角平分线 $AD = \sqrt{3}$，则 $AC =$______.

\begin{answer} $\sqrt{6}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $AC=\sqrt2u$，$BC=\sqrt2v$，其中 $u$，$v>0$. 由 $\angle B=120^\circ$ 及余弦定理， 由角平分线长公式 得 利用 $v^2=u^2-v-1$ 化简上式，得 $2uv=-u^2+2u+3$，$\qquad v=\frac{-u^2+2u+3}{2u}$. 将此式代入 $u^2=v^2+v+1$，并通分化简得 由于 $u>0$，且 $u+1\ne0$，所以 $u^2=3$，从而 $u=\sqrt3$. 此时由前式得 $v=1>0$，满足三角形条件，故 $AC=\sqrt2u=\sqrt6$. \end{solution}