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28
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是公差为
2
2
2
的等差数列.
(1) 若
a
1
a_1
a
1
，
a
3
a_3
a
3
，
a
4
a_4
a
4
成等比数列，求
a
1
a_1
a
1
的值； (2) 设
a
1
=
−
19
a_1=-19
a
1
=
−
19
，数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
.数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
满足
b
1
=
1
b_1=1
b
1
=
1
，
b
n
+
1
−
b
n
=
(
1
2
)
n
b_{n+1}-b_n=\left(\dfrac12\right)^n
b
n
+
1
−
b
n
=
(
2
1
)
n
.记
c
n
=
S
n
+
2
n
−
1
b
n
c_n=S_n+2^{n-1}b_n
c
n
=
S
n
+
2
n
−
1
b
n
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
），求数列
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
的最小项
c
n
0
c_{n_0}
c
n
0
（即
c
n
0
≤
c
n
c_{n_0}\leq c_n
c
n
0
≤
c
n
对任意
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
成立）.
2016 · 上海 · 春季 · 第 28 题 · 解答题
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36
数列
★★★★☆
对于数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
与
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
，若对数列
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
的每一项
c
k
c_k
c
k
，均有
c
k
=
a
k
c_k=a_k
c
k
=
a
k
或
c
k
=
b
k
c_k=b_k
c
k
=
b
k
，则称数列
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
是
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
与
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的一个“并数列”.
(1) 设数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
与
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的前三项分别为
a
1
=
1
a_1=1
a
1
=
1
，
a
2
=
3
a_2=3
a
2
=
3
，
a
3
=
5
a_3=5
a
3
=
5
，
b
1
=
1
b_1=1
b
1
=
1
，
b
2
=
2
b_2=2
b
2
=
2
，
b
3
=
3
b_3=3
b
3
=
3
，若
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
是
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
与
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的一个“并数列”，求所有可能的有序数组
(
c
1
,
c
2
,
c
3
)
(c_1,c_2,c_3)
(
c
1
,
c
2
,
c
3
)
； (2) 已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
，
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
均为等差数列，
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的公差为
1
1
1
，首项为正整数
t
t
t
；
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
的前
10
10
10
项和为
−
30
-30
−
30
，前
20
20
20
项和为
−
260
-260
−
260
，若存在唯一的数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
，使得
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
是
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
与
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的一个“并数列”，求
t
t
t
的值所构成的集合.
2016 · 上海 · 春季 · 第 36 题 · 解答题
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