设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于直线 $x = 1$ 对称，对任意 $x_{1}$，$x_{2} \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$，都有 $f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$，且 $f(1) = a > 0$.

(1) 求 $f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{1}{4}\right)$； (2) 证明： $f(x)$ 是周期函数； (3) 记 $a_{n} = f\left(2n + \frac{1}{2n}\right)$，求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\ln a_{n})$.