如图，$P$ 是抛物线 $C:y=\frac{1}{2}x^2$ 上一点，直线 $l$ 过点 $P$ 且与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q$.

(1) 若直线 $l$ 与过点 $P$ 的切线垂直，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程； (2) 若直线 $l$ 不过原点且与 $x$ 轴交于点 $S$，与 $y$ 轴交于点 $T$，试求 $\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}$ 的取值范围.