在极坐标系中，由三条直线 $\theta = 0$，$\theta = \frac{\pi}{3}$，$\rho \cos \theta + \rho \sin \theta = 1$ 围成图形的面积是______.

过圆 $C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ 的圆心作直线分别交 $x$，$y$ 正半轴于点 $A$，$B$，$\triangle AOB$ 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 $S_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}$，则直线 $AB$ 有（ ）