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12数列★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡x+tan⁡xf(x) = \sin x + \tan x，项数为 2727 的等差数列 {an}\{a_n\} 满足 an∈(−π2,π2)a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)，且公差 d≠0d \neq 0. 若 f(a1)+f(a2)+⋯+f(a27)=0f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0，则当 k=k =______ 时，f(ak)=0f(a_k) = 0.

2009 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★★☆
某地街道呈现东—西，南—北向的网格状，相邻街距都为 11. 两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 (−2,2)(-2, 2)，(3,1)(3, 1)，(3,4)(3, 4)，(−2,3)(-2, 3)，(4,5)(4, 5)，(6,6)(6, 6) 为报刊零售点. 请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使 66 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短______.

2009 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★★☆
有时可用函数
f(x)={0.1+15ln⁡aa−x,x⩽6,x−4.4x−4,x>6,f(x) = \begin{cases} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, & x \leqslant 6,\\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, & x > 6, \end{cases}
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 xx 表示某学科知识的学习次数（x∈N∗x \in \mathbf{N}^*），f(x)f(x) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 aa 与学科知识有关.
(1) 证明：当 x⩾7x \geqslant 7 时，掌握程度的增加量 f(x+1)−f(x)f(x + 1) - f(x) 总是下降； (2) 根据经验，学科甲，乙，丙对应的 aa 的取值范围分别为 (115,121](115, 121]，(121,127](121, 127]，(121,133](121, 133]. 当学习某学科知识 66 次时，掌握程度是 85%85\%，请确定相应的学科.

2009 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 是 y=f(x)y = f(x) 的反函数. 定义：若对给定的实数 aa（a≠0a \neq 0），函数 y=f(x+a)y = f(x + a) 与 y=f−1(x+a)y = f^{-1}(x + a) 互为反函数，则称 y=f(x)y = f(x) 满足“aa 和性质”；若函数 y=f(ax)y = f(ax) 与 y=f−1(ax)y = f^{-1}(ax) 互为反函数，则称 y=f(x)y = f(x) 满足“aa 积性质”.
(1) 判断函数 g(x)=x2g(x) = x^2（x>0x > 0）是否满足“11 和性质”，并说明理由； (2) 求所有满足“22 和性质”的一次函数； (3) 设函数 y=f(x)y = f(x)（x>0x > 0）对任何 a>0a > 0 都满足“aa 积性质”，求 y=f(x)y = f(x) 的表达式.

2009 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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