设 $a$，$b\in\mathbf{R}$，$|a|\le 1$. 已知函数 $f(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b$，$g(x)=\mathrm{e}^x f(x)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 已知函数 $y=g(x)$ 和 $y=\mathrm{e}^x$ 的图象在公共点 $(x_0,y_0)$ 处有相同的切线.

(i) 求证：$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数等于 $0$； (ii) 若关于 $x$ 的不等式 $g(x)\le \mathrm{e}^x$ 在区间 $[x_0-1,x_0+1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.