已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_n$（$n\in\mathbf{N}^*$），$\{b_n\}$ 是首项为 $2$ 的等比数列，且公比大于 $0$，$b_2+b_3=12$，$b_3=a_4-2a_1$，$S_{11}=11b_4$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 求数列 $\{a_{2n}b_n\}$ 的前 $n$ 项和（$n\in\mathbf{N}^*$）.