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10
复数
★★★★☆
设
m
∈
R
m\in\mathbf{R}
m
∈
R
，若
z
z
z
是关于
x
x
x
的方程
x
2
+
m
x
+
m
2
−
1
=
0
x^2+mx+m^2-1=0
x
2
+
m
x
+
m
2
−
1
=
0
的一个虚根，则
∣
z
∣
\lvert z\rvert
∣
z
∣
的取值范围是______.
2018 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题
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11
函数与初等函数
★★★★☆
设
a
>
0
a>0
a
>
0
，函数
f
(
x
)
=
x
+
2
(
1
−
x
)
sin
(
a
x
)
f(x)=x+2(1-x)\sin(ax)
f
(
x
)
=
x
+
2
(
1
−
x
)
sin
(
a
x
)
，
x
∈
(
0
,
1
)
x\in(0,1)
x
∈
(
0
,
1
)
. 若函数
y
=
2
x
−
1
y=2x-1
y
=
2
x
−
1
与
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的图像有且仅有两个不同的公共点，则
a
a
a
的取值范围是______.
2018 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题
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20
函数与初等函数
★★★★☆
设
a
>
0
a>0
a
>
0
，函数
f
(
x
)
=
1
1
+
a
⋅
2
x
f(x)=\frac{1}{1+a\cdot2^x}
f
(
x
)
=
1
+
a
⋅
2
x
1
.
(1) 若
a
=
1
a=1
a
=
1
，求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的反函数
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f
−
1
(
x
)
； (2) 求函数
y
=
f
(
x
)
⋅
f
(
−
x
)
y=f(x)\cdot f(-x)
y
=
f
(
x
)
⋅
f
(
−
x
)
的最大值（用
a
a
a
表示）； (3) 设
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
1
)
g(x)=f(x)-f(x-1)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
1
)
，若对任意
x
∈
(
−
∞
,
0
]
x\in(-\infty,0]
x
∈
(
−
∞
,
0
]
，
g
(
x
)
≥
g
(
0
)
g(x)\ge g(0)
g
(
x
)
≥
g
(
0
)
恒成立，求
a
a
a
取值范围.
2018 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题
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