设 $a>0$，函数 $f(x)=\frac{1}{1+a\cdot2^x}$.

(1) 若 $a=1$，求 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$； (2) 求函数 $y=f(x)\cdot f(-x)$ 的最大值（用 $a$ 表示）； (3) 设 $g(x)=f(x)-f(x-1)$，若对任意 $x\in(-\infty,0]$，$g(x)\ge g(0)$ 恒成立，求 $a$ 取值范围.