在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1$：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$F_2$ 也是抛物线 $C_2$：$y^2 = 4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2| = \frac{5}{3}$.

(1) 求 $C_1$ 的方程； (2) 平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$，直线 $l\parallel MN$，且与 $C_1$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点为 $F_2\left(1,0\right)$. 设 $M=(x_M,y_M)$，因 $M$ 在第一象限且在 $C_2$ 上，有 $y_M^2=4x_M$. 于是 由 $|MF_2|=\frac53$，得 $x_M=\frac23$，再得 $y_M=\frac{2\sqrt6}{3}$. 椭圆的左焦点为 $F_1=(-1,0)$，并且 所以椭圆的长轴长 $2a=|MF_1|+|MF_2|=4$，即 $a=2$. 又焦半距 $c=1$，故 $b^2=a^2-c^2=3$，从而 \item 由焦点坐标关于原点对称，$\overrightarrow{MF_1}+\overrightarrow{MF_2}=-2\overrightarrow{OM}$，所以 $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{OM}$，从而 $N=-M$. 因此直线 $l\parallel MN$ 的斜率为 可设 $l:y=\sqrt6x+r$. 设其与椭圆交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程得 故由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{8\sqrt6 r}{27}$，$x_1x_2=\frac{4r^2}{27}-\frac49$. 条件 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ 给出 代入上式，得 $\frac{7r^2}{27}-\frac{28}{9}=0$，所以 $r^2=12$，即 $r=\pm2\sqrt3$. 因而 \end{enumerate} \end{solution}

如图，过圆 $O$ 外一点 $M$ 作它的一条切线. 切点为 $A$，过 $A$ 点作直线 $AP$ 垂直直线 $OM$，垂足为 $P$.

(1) 证明： $OM \cdot OP = OA^2$； (2) $N$ 为线段 $AP$ 上一点，直线 $NB$ 垂直直线 $ON$，且交圆 $O$ 于 $B$ 点. 过 $B$ 点的切线交直线 $ON$ 于 $K$. 证明： $\angle OKM = 90^{\circ}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $OA\perp AM$，且 $AP\perp OM$，所以三角形 $OAM$ 与三角形 $OPA$ 都是直角三角形. 又它们在点 $O$ 处有相同的夹角，故 $\triangle OAM\sim\triangle OPA$. 由对应边关系 得 $OM\cdot OP=OA^2$. \item 取 $OM$ 为 $x$ 轴，设圆半径为 $r=OA$，并记 $O=(0,0)$、$M=(m,0)$、$P=(p,0)$. 由第（1）问，$mp=r^2$. 因为 $AP\perp OM$，可设 $N=(p,n)$. 由 得 圆在点 $B$ 处的切线方程为 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OX}=r^2$. 由于 $K$ 在直线 $ON$ 上，设 $\overrightarrow{OK}=\lambda\overrightarrow{ON}$，代入切线方程并利用上式，得 $\lambda|ON|^2=r^2$，$\overrightarrow{OK}=\frac{r^2}{|ON|^2}\overrightarrow{ON}$. 于是 $|OK|^2=\frac{r^4}{|ON|^2}$，$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OK}=\frac{r^2mp}{|ON|^2}=\frac{r^4}{|ON|^2}=|OK|^2$. 所以 $\overrightarrow{KO}\cdot\overrightarrow{KM}=0$，即 $\angle OKM=90^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}