在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1$：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$F_2$ 也是抛物线 $C_2$：$y^2 = 4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2| = \frac{5}{3}$.

(1) 求 $C_1$ 的方程； (2) 平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$，直线 $l\parallel MN$，且与 $C_1$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点为 $F_2\left(1,0\right)$. 设 $M=(x_M,y_M)$，因 $M$ 在第一象限且在 $C_2$ 上，有 $y_M^2=4x_M$. 于是 由 $|MF_2|=\frac53$，得 $x_M=\frac23$，再得 $y_M=\frac{2\sqrt6}{3}$. 椭圆的左焦点为 $F_1=(-1,0)$，并且 所以椭圆的长轴长 $2a=|MF_1|+|MF_2|=4$，即 $a=2$. 又焦半距 $c=1$，故 $b^2=a^2-c^2=3$，从而 \item 由焦点坐标关于原点对称，$\overrightarrow{MF_1}+\overrightarrow{MF_2}=-2\overrightarrow{OM}$，所以 $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{OM}$，从而 $N=-M$. 因此直线 $l\parallel MN$ 的斜率为 可设 $l:y=\sqrt6x+r$. 设其与椭圆交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程得 故由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{8\sqrt6 r}{27}$，$x_1x_2=\frac{4r^2}{27}-\frac49$. 条件 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ 给出 代入上式，得 $\frac{7r^2}{27}-\frac{28}{9}=0$，所以 $r^2=12$，即 $r=\pm2\sqrt3$. 因而 \end{enumerate} \end{solution}