如图，过圆 $O$ 外一点 $M$ 作它的一条切线. 切点为 $A$，过 $A$ 点作直线 $AP$ 垂直直线 $OM$，垂足为 $P$.

(1) 证明： $OM \cdot OP = OA^2$； (2) $N$ 为线段 $AP$ 上一点，直线 $NB$ 垂直直线 $ON$，且交圆 $O$ 于 $B$ 点. 过 $B$ 点的切线交直线 $ON$ 于 $K$. 证明： $\angle OKM = 90^{\circ}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $OA\perp AM$，且 $AP\perp OM$，所以三角形 $OAM$ 与三角形 $OPA$ 都是直角三角形. 又它们在点 $O$ 处有相同的夹角，故 $\triangle OAM\sim\triangle OPA$. 由对应边关系 得 $OM\cdot OP=OA^2$. \item 取 $OM$ 为 $x$ 轴，设圆半径为 $r=OA$，并记 $O=(0,0)$、$M=(m,0)$、$P=(p,0)$. 由第（1）问，$mp=r^2$. 因为 $AP\perp OM$，可设 $N=(p,n)$. 由 得 圆在点 $B$ 处的切线方程为 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OX}=r^2$. 由于 $K$ 在直线 $ON$ 上，设 $\overrightarrow{OK}=\lambda\overrightarrow{ON}$，代入切线方程并利用上式，得 $\lambda|ON|^2=r^2$，$\overrightarrow{OK}=\frac{r^2}{|ON|^2}\overrightarrow{ON}$. 于是 $|OK|^2=\frac{r^4}{|ON|^2}$，$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OK}=\frac{r^2mp}{|ON|^2}=\frac{r^4}{|ON|^2}=|OK|^2$. 所以 $\overrightarrow{KO}\cdot\overrightarrow{KM}=0$，即 $\angle OKM=90^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}