如图，$A$，$B$ 是海面上位于东西方向相距 $5(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点. 现位于 $A$ 点北偏东 $45^\circ$，$B$ 点北偏西 $60^\circ$ 的 $D$ 点有一艘轮船发出求救信号，位于 $B$ 点南偏西 $60^\circ$ 且与 $B$ 点相距 $20\sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 $30$ 海里/小时，该救援船到达 $D$ 点需要多长时间？

如图，椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的顶点为 $A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，焦点为 $F_1$，$F_2$，$|A_1B_1| = \sqrt{7}$，$S_{\square A_1B_1A_2B_2} = 2S_{\square B_1F_1B_2F_2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $n$ 是过原点的直线，$l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点的直线，$\overline{OP} = 1$. 是否存在上述直线 $l$ 使 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB} = 1$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.