如图，椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的顶点为 $A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，焦点为 $F_1$，$F_2$，$|A_1B_1| = \sqrt{7}$，$S_{\square A_1B_1A_2B_2} = 2S_{\square B_1F_1B_2F_2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $n$ 是过原点的直线，$l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点的直线，$\overline{OP} = 1$. 是否存在上述直线 $l$ 使 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB} = 1$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.