已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=-1$，公差 $d>1$. 记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$（$n\in\mathbf{N}^*$）.

(1) 若 $S_4-2a_2a_3+6=0$，求 $S_n$； (2) 若对于每个 $n\in\mathbf{N}^*$，存在实数 $c_n$，使 $a_n+c_n$，$a_{n+1}+4c_n$，$a_{n+2}+15c_n$ 成等比数列，求 $d$ 的取值范围.