已知函数 $f(x) = \sin (\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$）是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于点 $M\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)$ 对称，且在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调函数. 求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值.

\begin{solution} 由于 $f(x)$ 是偶函数，对任意 $x$ 有 又 $\omega>0$，故 $\cos\varphi=0$. 结合 $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$，得 $\varphi=\frac{\pi}{2}$，从而 $f(x)=\cos\omega x$.

图象关于 $M\left(\frac{3\pi}{4},0\right)$ 对称，故对任意 $x$ 有 令 $t=\omega x$，则上式对任意 $t\in\mathbf{R}$ 成立. 由 可得 $\cos\frac{3\pi\omega}{2}=-1$，$\sin\frac{3\pi\omega}{2}=0$， 所以 $\frac{3\pi\omega}{2}=(2m+1)\pi$，即 $\omega=\frac{2(2m+1)}{3}$，其中 $m$ 为非负整数.

在区间 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上，$\omega x$ 的取值范围为 $\left[0,\frac{(2m+1)\pi}{3}\right]$. 当 $m=0$ 或 $m=1$ 时，$\cos\omega x$ 在该区间上单调递减；当 $m\geqslant2$ 时，$\omega x$ 在该区间内越过 $\pi$，函数先减后增，不满足单调性. 因此 \end{solution}