如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$M$，$N$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P$，$A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$，连接 $AC$，并延长交椭圆于点 $B$，设直线 $PA$ 的斜率为 $k$.

(1) 当直线 $PA$ 平分线段 $MN$ 时，求 $k$ 的值； (2) 当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$； (3) 对任意 $k>0$，求证：$PA\perp PB$.