在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ （$x>0$）的图象上的动点，该图象在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$. 过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$. 设线段 $MN$ 的中点的纵坐标为 $t$，则 $t$ 的最大值是______.