设 $1=a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \cdots \leqslant a_{7}$，其中 $a_{1}$，$a_{3}$，$a_{5}$，$a_{7}$ 成公比为 $q$ 的等比数列，$a_{2}$，$a_{4}$，$a_{6}$ 成公差为 $1$ 的等差数列，则 $q$ 的最小值是______.

设整数 $n\geqslant 4$，$P(a,b)$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 中的点，其中 $a$，$b\in\{1,2,3,\dots,n\}$，$a>b$.

(1) 记 $A_{n}$ 为满足 $a-b=3$ 的点 $P$ 的个数，求 $A_{n}$； (2) 记 $B_{n}$ 为满足 $\frac{1}{3}(a-b)$ 是整数的点 $P$ 的个数，求 $B_{n}$.