已知椭圆 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，试确定 $m$ 的取值范围，使得对于直线 $y = 4x + m$，椭圆 $C$ 上有不同的两点关于该直线对称.