已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$，其中 $a_{n}=\cos n\alpha$（$0<\alpha<\pi$）.

(1) 试用 $a_{n-1}$，$a_{n-2}$ 表示 $a_{n}$； (2) 用数学归纳法证明 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{n+1}{2}\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}$； (3) 求和 $a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots+(-1)^{k+1}a_{k}+\cdots-a_{2n}+a_{2n+1}$.