设 $a > 0$，如图，已知直线 $l: y = ax$ 及曲线 $C: y = x^2$，$C$ 上的点 $Q_1$ 的横坐标为 $a_1$（$0 < a_1 < a$）. 从 $C$ 上的点 $Q_n$（$n \geqslant 1$）作直线平行于 $x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $P_{n+1}$，再从点 $P_{n+1}$ 作直线平行于 $y$ 轴，交曲线 $C$ 于点 $Q_{n+1}$. $Q_n$（$n = 1$，$2$，$3$，$\cdots$）的横坐标构成数列 $\{a_n\}$.

(1) 试求 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的关系，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 当 $a = 1$，$a_1 \leqslant \frac{1}{2}$ 时，证明：$\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) a_{k+2} < \frac{1}{32}$； (3) 当 $a = 1$ 时，证明：$\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) a_{k+2} < \frac{1}{3}$.