已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1$.

(1) 设 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $a$，并求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，$f(x)\ge0$.