已知函数 $f(x) = ax \sin x - \frac{3}{2}$，$a \in \mathbf{R}$，且在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{\pi - 3}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 判断函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内的零点个数，并加以证明.