在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$PA \perp$ 平面 $ABCD$. $PA = AD = 4$，$AB = 2$. 以 $AC$ 的中点 $O$ 为球心，$AC$ 为直径的球面交 $PD$ 于点 $M$，交 $PC$ 于点 $N$.

(1) 求证：平面 $ABM \perp$ 平面 $PCD$； (2) 求直线 $CD$ 与平面 $ACM$ 所成的角的大小； (3) 求点 $N$ 到平面 $ACM$ 的距离.