若 $A_n$ 和 $B_n$ 分别表示数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项的和，对任意正整数 $n$，$a_n = -\frac{2n + 3}{2}$，$4B_n - 12A_n = 13n$.

(1) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式. (2) 设有抛物线列 $C_1$，$C_2$，$\cdots$，$C_n$，$\cdots$，抛物线 $C_n$（$n \in \mathbf{N}$）的对称轴平行于 $y$ 轴，顶点为 $(a_n, b_n)$，且通过点 $D_n(0, n^{2} + 1)$，过点 $D_n$ 且与抛物线 $C_n$ 相切的直线斜率为 $k_n$，求极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n}{a_n b_n}$. (3) 设集合 $X = \{x \mid x = 2a_n, n \in \mathbf{N}\}$，$Y = \{y \mid y = 4b_n, n \in \mathbf{N}\}$. 若等差数列 $\{c_n\}$ 的任一项 $c_n \in X \cap Y$，$c_1$ 是 $X \cap Y$ 中的最大数，且 $-265 < c_{10} < -125$，求 $\{c_n\}$ 的通项公式.