设函数 $f(x) = (x + a) \ln(x + b)$. 若 $f(x) \geqslant 0$, 则 $a^2 + b^2$ 的最小值为 ( )

在如图的 $4 \times 4$ 的方格表中选 4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有______种选法. 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.

如图, 平面四边形 $ABCD$ 中, $AB = 8, CD = 3, AD = 5\sqrt{3}, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAD = 30^\circ$, 点 $E, F$ 满足 $\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{AD}, \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, 将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 翻折至 $\triangle PEF$, 使得 $PC = 4\sqrt{3}$.

(1) 证明: $EF \perp PD$;

(2) 求面 $PCD$ 与面 $PBF$ 所成的二面角的正弦值.