设 $a$，$b$，$m$，$n \in \mathbf{R}$，且 $a^2 + b^2 = 5$，$ma + nb = 5$，则 $\sqrt{m^{2} + n^{2}}$ 的最小值为______. \begin{answer} $\sqrt{5}$ \end{answer} \begin{solution} 由柯西不等式， 所以 $\sqrt{m^2+n^2}\geqslant\sqrt5$. 当 $m=a$，$n=b$ 时，题设两式均成立，且 $\sqrt{m^2+n^2}=\sqrt5$，故最小值为 $\sqrt5$. \end{solution}

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）经过点 $(0, \sqrt{3})$，离心率为 $\frac{1}{2}$，左右焦点分别为 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$.

(1) 求椭圆的方程. (2) 若直线 $l: y = -\frac{1}{2} x + m$ 与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，与以 $F_{1}F_{2}$ 为直径的圆交于 $C$，$D$ 两点，且满足 $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为椭圆经过 $(0,\sqrt3)$，所以 $\frac{3}{b^2}=1$，即 $b^2=3$. 又离心率 $e=\frac ca=\frac12$，且 $c^2=a^2-b^2$，故 $\frac{a^2}{4}=a^2-3$，即 $a^2=4$. 因此椭圆方程为

\item 以 $y=-\frac12x+m$ 代入椭圆方程，得 即 设两交点的横坐标为 $x_1$，$x_2$，则 $x_1+x_2=m$，$x_1x_2=m^2-3$，$(x_1-x_2)^2=3(4-m^2)$. 所以弦 $AB$ 的长度为

由 $c^2=a^2-b^2=1$，以 $F_1F_2$ 为直径的圆为 $x^2+y^2=1$. 直线 $l$ 到原点的距离为 $d=\frac{2|m|}{\sqrt5}$，故弦 $CD$ 的长度为 由题设， 由于 $A$、$B$ 和 $C$、$D$ 均为两个交点，需有 $4-m^2>0$ 且 $5-4m^2>0$. 从而 $4-m^2=5-4m^2$，即 $m^2=\frac13$，所得两个值均满足上述相交条件，故 所求直线为 $y=-\frac12x+\frac{\sqrt3}{3}$ 或 $y=-\frac12x-\frac{\sqrt3}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}