已知椭圆 $G: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. 过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的切线 $l$，交椭圆 $G$ 于 $A$，$B$ 两点.

(1) 求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率； (2) 将 $\left|AB\right|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $\left|AB\right|$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，所以 $a=2$，$b=1$. 由 $c^2=a^2-b^2=3$，得 $c=\sqrt3$. 因此焦点为 $(-\sqrt3,0)$、$(\sqrt3,0)$，离心率为 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt3}{2}$. \item 过 $(m,0)$ 的圆 $x^2+y^2=1$ 的切线存在的条件是 $|m|\geqslant1$. 先处理边界情形：当 $m=1$ 时，切线为 $x=1$，与椭圆的交点为 $\left(1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$、$\left(1,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，所以 $|AB|=\sqrt3$；当 $m=-1$ 时，切线为 $x=-1$，与椭圆的交点为 $\left(-1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$、$\left(-1,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，所以 $|AB|=\sqrt3$.

当 $|m|>1$ 时，设切线写成 $x+\lambda y=m$，则其到原点的距离为 $1$，故 $1+\lambda^2=m^2$. 代入椭圆方程，令 $x=m-\lambda y$，得 $(\lambda^2+4)y^2-2m\lambda y+m^2-4=0$. 该方程关于 $y$ 的判别式为 $\Delta=4m^2\lambda^2-4(\lambda^2+4)(m^2-4)=48$，所以两交点的纵坐标之差为 $\dfrac{4\sqrt3}{\lambda^2+4}=\dfrac{4\sqrt3}{m^2+3}$. 又直线方向向量可取 $(\lambda,-1)$，其长度为 $\sqrt{1+\lambda^2}=|m|$，故 $\displaystyle\left|AB\right|=\frac{4\sqrt{3}\left|m\right|}{m^2+3}$.

结合 $m=\pm1$ 时的结果，$|AB|=\dfrac{4\sqrt3|m|}{m^2+3}$，其中 $m\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$. 令 $r=|m|\geqslant1$，则 $|AB|=g(r)=\dfrac{4\sqrt3r}{r^2+3}$，且 $g'(r)=\dfrac{4\sqrt3(3-r^2)}{(r^2+3)^2}$. 所以 $g$ 在 $[1,\sqrt3]$ 上递增，在 $[\sqrt3,+\infty)$ 上递减，最大值在 $r=\sqrt3$ 处取得，为 $g(\sqrt3)=2$. \end{enumerate} \end{solution}