已知函数 $f(x) = (x - k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若对于任意的 $x \in (0, +\infty)$，都有 $f(x) \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$，求 $k$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 $k\ne0$，求导得 $f'(x)=2(x-k)\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}+\dfrac1k(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}=\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}}{k}(x-k)(x+k)$. 因 $\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}>0$，只需讨论 $\dfrac{(x-k)(x+k)}k$ 的符号.

当 $k>0$ 时，$f'(x)>0$ 在 $(-\infty,-k)$ 和 $(k,+\infty)$ 上成立，$f'(x)<0$ 在 $(-k,k)$ 上成立. 因此递增区间为 $(-\infty,-k)$、$(k,+\infty)$，递减区间为 $(-k,k)$.

当 $k<0$ 时，因分母 $k$ 为负，符号相反，故递减区间为 $(-\infty,k)$、$(-k,+\infty)$，递增区间为 $(k,-k)$. \item 若 $k>0$，则当 $x\to+\infty$ 时，$(x-k)^2\mathrm{e}^{\frac{x}{k}}\to+\infty$，不可能对所有 $x>0$ 有 f(x)\leqslant\dfrac1\mathrm{e}.

令 $k=-a$，其中 $a>0$. 此时 $f(x)=(x+a)^2\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}$，且 $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}}a(a-x)(a+x)$. 所以 $f$ 在 $(0,a)$ 上递增，在 $(a,+\infty)$ 上递减，最大值为 $f(a)=\dfrac{4a^2}{\mathrm{e}}$. 要使最大值不超过 \dfrac1\mathrm{e}，必须且只需 $4a^2\leqslant1$，即 $0<a\leqslant\dfrac12$. 因此 $-\dfrac12\leqslant k<0$. \end{enumerate} \end{solution}