已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），以椭圆 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 $(0,t)$（$t>\sqrt{2}$）且斜率存在的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$，$B$，过点 $A$ 和 $C(0,1)$ 的直线 $AC$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $D$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及离心率； (2) 若直线 $BD$ 的斜率为 0，求 $t$ 的值.