某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A，B，C，D 四个问题，规则如下：

(1) 每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A，B，C，D 分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答错任一题减 2 分； (2) 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局； (3) 每位参加者按问题 A，B，C，D 顺序作答，直至答题结束.

假设甲同学对问题 A，B，C，D 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1) 求甲同学能进入下一轮的概率； (2) 用 $\xi$ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$.