双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，以右焦点 $F_2$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）与双曲线在第一象限交于 $P$，若 $|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|$，则双曲线离心率 $e=$（ ）

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，$P$ 为 $x=a$ 上一点，且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac13$，$\triangle PFA$ 的面积为 $\frac32$，离心率为 $\frac12$.

(1) 求椭圆方程； (2) 过 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于 $A$），证明 $PF$ 平分 $\angle AFB$.