$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$（$\omega>0$，$-\pi<\varphi<\pi$），在 $\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 是它的一条对称轴，$(\frac{\pi}{3},0)$ 是它的一个对称中心.

当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时，$f(x)$ 的最小值为（ ）