已知函数 $f(x)=ax-\frac{3}{2}x^{2}$ 的最大值不大于 $\frac{1}{6}$，又当 $x \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x) \ge \frac{1}{8}$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 设 $0 < a_1 < \frac{1}{2}$，$a_{n+1} = f(a_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$. 证明 $a_n < \frac{1}{n+1}$.

已知函数 $f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)$（$a > 0$）.

(1) 求函数 $y = f(x)$ 的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 及 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$； (2) 假设对任意 $x \in [\ln(3a), \ln(4a)]$，不等式 $|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.