设椭圆方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$，过点 $M(0,1)$ 的直线 $l$ 交椭圆于点 $A$，$B$，$O$ 是坐标原点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)$，点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$，当 $l$ 绕点 $M$ 旋转时，求：

(1) 动点 $P$ 的轨迹方程； (2) $|\overrightarrow{NP}|$ 的最小值与最大值.

已知函数 $f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)$（$a > 0$）.

(1) 求函数 $y = f(x)$ 的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 及 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$； (2) 假设对任意 $x \in [\ln(3a), \ln(4a)]$，不等式 $|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.