已知函数 $f(x)=ax-\frac{3}{2}x^{2}$ 的最大值不大于 $\frac{1}{6}$，又当 $x \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x) \ge \frac{1}{8}$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 设 $0 < a_1 < \frac{1}{2}$，$a_{n+1} = f(a_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$. 证明 $a_n < \frac{1}{n+1}$.