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18不等式★★★★☆
设全集 U=RU = \mathbf{R}.
(1) 解关于 xx 的不等式 ∣x−1∣+a−1>0|x - 1| + a - 1 > 0（a∈Ra \in \mathbf{R}）； (2) 记 AA 为（1）中不等式的解集，集合 B={x∣sin⁡(πx−π3)+3cos⁡(πx−π3)=0}B = \left\{x \mid \sin \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \right\}，若 (∁UA)∩B(\complement_U A) \cap B 恰有 33 个元素，求 aa 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆方程为 x2+y24=1x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1，过点 M(0,1)M(0,1) 的直线 ll 交椭圆于点 AA，BB，OO 是坐标原点，点 PP 满足 OP→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)，点 NN 的坐标为 (12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)，当 ll 绕点 MM 旋转时，求：
(1) 动点 PP 的轨迹方程； (2) ∣NP→∣|\overrightarrow{NP}| 的最小值与最大值.

2004 · 辽宁 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−32x2f(x)=ax-\frac{3}{2}x^{2} 的最大值不大于 16\frac{1}{6}，又当 x∈[14,12]x \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] 时，f(x)≥18f(x) \ge \frac{1}{8}.
(1) 求 aa 的值； (2) 设 0<a1<120 < a_1 < \frac{1}{2}，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 证明 an<1n+1a_n < \frac{1}{n+1}.

2004 · 辽宁 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(ex+a)f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)（a>0a > 0）.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 及 f(x)f(x) 的导数 f′(x)f'(x)； (2) 假设对任意 x∈[ln⁡(3a),ln⁡(4a)]x \in [\ln(3a), \ln(4a)]，不等式 ∣m−f−1(x)∣+ln⁡(f′(x))<0|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0 成立，求实数 mm 的取值范围.

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