如图，已知椭圆长轴 $\left|A_{1}A_{2}\right| = 6$，焦距 $\left|F_{1}F_{2}\right| = 4\sqrt{2}$，过椭圆焦点 $F_{1}$ 作一直线，交椭圆于两点 $M$，$N$. 设 $\angle F_{2}F_{1}M = \alpha$（$0 \leqslant \alpha < \pi$），当 $\alpha$ 取什么值时，$|MN|$ 等于椭圆短轴的长？

\begin{solution} 设椭圆中心为原点，长轴在 $x$ 轴上. 由题意，半长轴 $a=3$，半焦距 $c=2\sqrt{2}$，所以半短轴 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$，且 $F_{1}=(-2\sqrt{2},0)$. 过 $F_{1}$ 的直线方向向量可取 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$，其参数方程为 $x=-2\sqrt{2}+t\cos\alpha$，$y=t\sin\alpha$. 代入椭圆方程，得到 设两根为 $t_{1}$，$t_{2}$. 因为参数方向向量是单位向量，弦长 $|MN|=|t_{1}-t_{2}|$. 该二次方程的判别式为 所以 椭圆短轴长为 $2b=2$，故 又 $0\leqslant\alpha<\pi$，所以 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ 或 $\alpha=\frac{5\pi}{6}$. \end{solution}