(1) 已知 $a$，$b$ 为实数，并且 $\mathrm{e} < a < b$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数，证明：$a^b > b^a$； (2) 如果正实数 $a$，$b$ 满足 $a^b = b^a$，且 $a < 1$，证明：$a = b$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$，则 当 $x>\mathrm{e}$ 时，$f'(x)<0$，故 $f$ 在 $(\mathrm{e},+\infty)$ 上单调递减. 由 $\mathrm{e}<a<b$，得 $f(a)>f(b)$，于是 因此 $a^{b}>b^{a}$. \item 由 $a^{b}=b^{a}$ 及 $a$，$b>0$，取自然对数得 $b\ln a=a\ln b$. 因为 $0<a<1$，所以 $\ln a<0$，从而等式右边也小于零，故 $\ln b<0$，即 $0<b<1$. 函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上满足 所以 $f$ 在 $(0,1)$ 上严格递增. 等式 $b\ln a=a\ln b$ 等价于 $f(a)=f(b)$，因而 $a=b$. \end{enumerate} \end{solution}