已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = b$（$b \neq 0$），它的前 $n$ 项的和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$（$n \geqslant 1$），并且 $S_{1}$，$S_{2}$，$\cdots$，$S_{n}$，$\cdots$ 是一个等比数列，其公比为 $p$（$p \neq 0$，$|p| < 1$）.

(1) 证明：$a_{2}$，$a_{3}$，$\cdots$，$a_{n}$，$\cdots$（即 $\{a_{n}\}$ 从第二项起）是一个等比数列； (2) 设 $W_{n}=a_{1}S_{1}+a_{2}S_{2}+a_{3}S_{3}+\cdots+a_{n}S_{n}$（$n\geqslant1$），求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}W_{n}$（用 $b$，$p$ 表示）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $S_{1}=a_{1}=b$，且 $S_{1}$，$S_{2}$，$\ldots$ 是公比为 $p$ 的等比数列，所以 $S_{n}=bp^{n-1}$. 对 $n\geqslant2$， 由于 $b\neq0$、$p\neq0$ 且 $|p|<1$，有 $p\neq1$，所以 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=p$. 因而 $a_{2}$，$a_{3}$，$\ldots$ 是公比为 $p$ 的等比数列. \item $a_{1}S_{1}=b^{2}$. 对 $k\geqslant2$， 当 $n\geqslant2$ 时， 因为 $|p|<1$，所以 \end{enumerate} \end{solution}