如图，在三棱锥 $S - ABC$ 中，$S$ 在底面上的射影 $N$ 位于底面的高 $CD$ 上；$M$ 是侧棱 $SC$ 上的一点，使截面 $MAB$ 与底面所成的角等于 $\angle NSC$，求证：$SC$ 垂直于截面 $MAB$.

\begin{solution} 因为 $SN$ 是 $S$ 在底面上的射影，所以 $SN\perp AB$；又因为 $CD$ 是底面三角形的高，所以 $CD\perp AB$. 在平面 $SCD$ 内过 $D$ 作直线 $\ell\parallel SN$，则 $\ell\perp AB$，且 $CD\perp AB$. 由于 $\ell$ 与 $CD$ 是平面 $SCD$ 内相交的两条直线，故 $AB\perp\left(SCD\right)$，从而 $AB\perp SC$.

平面 $MAB$ 与底面相交于 $AB$. 因为 $D\in AB$，且 $M$，$D\in\left(SCD\right)$，所以 $MD$ 同时位于平面 $MAB$ 和平面 $SCD$ 内. 又 $MD\perp AB$、$CD\perp AB$，故截面与底面所成的角为 $\angle MDC$. 由题设，$\angle MDC=\angle NSC$. 在平面 $SCD$ 内，$SN\perp CD$，因此 因为 $M\in SC$、$N\in CD$，在三角形 $MDC$ 中有 $\angle MCD=\angle SCD$. 所以 $\angle MDC+\angle MCD=\frac{\pi}{2}$，从而 $\angle DMC=\frac{\pi}{2}$，即 $MD\perp MC$，也就是 $MD\perp SC$. 直线 $AB$ 与 $MD$ 在平面 $MAB$ 内相交，且 $SC$ 同时垂直于它们，所以 $SC$ 垂直于平面 $MAB$. \end{solution}