设 $M$，$N$ 是直角梯形 $ABCD$ 两腰的中点，$DE \perp AB$ 于 $E$ （如图）. 现将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起，使二面角 $A - DE - B$ 为 $45^\circ$，此时点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$，则 $M$，$N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于______.

\begin{answer} $90^\circ$ \end{answer}

\begin{solution} 设平面 $BCDE$ 为 $z=0$，取 $DE$ 为 $y$ 轴，令 $E=(0,0,0)$，$D=(0,d,0)$，$B=(u,0,0)$，$C=(u,d,0)$，其中 $u>0$，$d>0$. 点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影为 $B$，故可设 $A=(u,0,v)$. 二面角 $A-DE-B$ 为 $45^\circ$，所以在过 $E$ 且垂直于 $DE$ 的截面内，直线 $EA$ 与 $EB$ 所成的角为 $45^\circ$. 因而 $\displaystyle \cos45^\circ=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}$，得 $v^2=u^2$.

由中点坐标公式，$M$，$N$ 分别为 $AD$，$BC$ 的中点，所以 $\displaystyle M=(\frac{u}{2},\frac{d}{2},\frac{v}{2})$，$N=(u,\frac{d}{2},0)$. 于是 $\overrightarrow{MN}=(\frac{u}{2},0,-\frac{v}{2})$，$\overrightarrow{AE}=(-u,0,-v)$，从而 $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AE}=-\frac{u^2}{2}+\frac{v^2}{2}=0$. 因此 $MN\perp AE$，两直线所成角为 $90^\circ$. \end{solution}