如图，已知点 $F(1, 0)$，直线 $l: x = -1$，$P$ 为平面上的动点，过 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$，且 $\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF} = \overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ}$.

(1) 求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程. (2) 过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$.

(i) 已知 $\overrightarrow{MA} = \lambda_1 \overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB} = \lambda_2 \overrightarrow{BF}$，求 $\lambda_1 + \lambda_2$ 的值； (ii) 求 $\left| \overrightarrow{MA} \right| \cdot \left| \overrightarrow{MB} \right|$ 的最小值.