数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2S_n$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$. (2) 求数列 $\{na_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.