已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}>0$，双曲线 $C_{n}:\frac{x^{2}}{a_{n}}-\frac{y^{2}}{a_{n+1}}=1$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）.

(1) 若 $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，双曲线 $C_{n}$ 的焦距为 $2c_{n}$，$c_{n}=\sqrt{4n-1}$，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 如图，在双曲线 $C_{n}$ 的右支上取点 $P_{n}(x_{P_{n}},n)$，过 $P_{n}$ 作 $y$ 轴的垂线，在第一象限内交 $C_{n}$ 的渐近线于点 $Q_{n}$，联结 $OP_{n}$，记 $\triangle OP_{n}Q_{n}$ 的面积为 $S_{n}$. 若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=2$，求 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$.

（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若 $\lim\limits_{n\to\infty}u_{n}=A$（$u_{n}\ge0$），则 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{u_{n}}=\sqrt{A}$）