已知函数 $f(x) = 2^x + \log_2 x$，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n = 0.1n$（$n \in \mathbf{N}$），当 $|f(a_n) - 2005|$ 取得最小值时，$n =$______.

已知函数 $f(x) = x + \frac{a}{x}$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，且 $f(2) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. 设点 $P$ 是函数图象上的任意一点，过点 $P$ 分别作直线 $y = x$ 和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$，$N$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 问： $|PM| \cdot |PN|$ 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由； (3) 设 $O$ 为坐标原点，求四边形 $OMPN$ 面积的最小值.