已知函数 $f(x) = x + \frac{a}{x}$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，且 $f(2) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. 设点 $P$ 是函数图象上的任意一点，过点 $P$ 分别作直线 $y = x$ 和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$，$N$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 问： $|PM| \cdot |PN|$ 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由； (3) 设 $O$ 为坐标原点，求四边形 $OMPN$ 面积的最小值.