设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$） 的左焦点为 $F$，左顶点为 $A$，上顶点为 $B$. 已知 $\sqrt3|OA|=2|OB|$（$O$ 为原点）.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 设经过点 $F$ 且斜率为 $\dfrac34$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $OC//AP$，求椭圆的方程.